Muir püstitas ajaloolise maailmarekordi 1965. aastal Blackpoolis 100 meetri seliliujumises, olles toona alles 12 aasta ja kümne kuu vanune. Ühelgi spordialal maailmas pole keegi suutnud nii noorelt maailmarekordini jõuda.

Üldse parandas Muir oma karjääri jooksul seliliujumise maailmarekordeid 15 korda. Lõuna-Aafrika Vabariigile kuulutatud boikoti tõttu ei saanud Muir kordagi oma karjääri jooksul olümpiamängudel võistelda. Ujumise kuulsuste halli valiti ta 1980. aastal.

Pärast karjääri lõppu õppis legendaarne ujuja arstiks ja töötas sellel erialal kuni oma surmani. Rinnavähk avastati Muiril 2009. aastal.