Vlassov krooniti 1960. aastal Roomas tõstmise üliraskekaalus olümpiavõitjaks. Neli aastat hiljem Tokyos pälvis ta hõbemedali. Nende mõlema olümpia ajal oli Vlassov Nõukogude Liidu koondise lipukandjaks.

Maailmameistrivõistlustelt pälvis Vlassov viis kuldmedalit ja ühe hõbeda, lisaks tuli ta kuuel korral Euroopa meistriks. Karjääri jooksul püstitas ta 34 maailmarekordit.

Pärast sportlaskarjääri lõppu töötas ta kirjaniku ja ajakirjanikuna ning avaldas enam kui 15 romaani. Hiljem lõi ta aktiivselt kaasa ka poliitikaelus, kui ta valiti 1993. aastal Venemaa Riigiduumasse. 1996. aastal osales ta sõltumatu kandidaadina presidendivalimistel. Seal sai ta avavoorus vaid 0,20% häältest ja otsustas seejärel poliitikast lahkuda.