Ants Kulgevee sportlastee ralliradadel sai alguse seitsmekümnendate aastate alguses Jaak Tammeka kaardilugejana. Moskvitšide klassis võitis rallipaar 1974. aastal Eesti meistrivõistlustel pronksmedali. Veelgi suurem edu saatis Ants Kulgeveed Jaagu venna Joel Tammekaga, kellega võideti Nõukogude Liidu meistrivõistlustel 1984. aastal spetsiaalautode klassis pronksmedal ning 1988 aastal kuldmedal. Samal aastal võideti sotsialismimaade Sõpruse karika võistlustel teine koht.

Kulgevee säravamateks sportlassaavutusteks on veel oma klassi võit 1983. aasta Soome MM rallil ning sama ralli üldarvestuse 22. koht 1987 aastal. Teedrajav Eesti autospordis on ka Kamaziga saavutatud teine koht 1989. aasta Pariisi-Sierra Leone veoautorallil Objectif Sud.

Eesti spordiajakirjanikud valisid rallipaari Tammeka-Kulgevee 1984. ja 1988. aastal aastal Eesti parimaks tehnikaspordivõistkonnaks. Ants Kulgevee sportlasteed tähistavad veel mitmed Eesti meistrivõistluste medalid ning kolm legendaarse Tehumardi ralli rallivõitu.

Silmapaistavate saavutuste eest pälvis Ants Kulgevee 1982. aastal meistersportlase ning 1987. aastal autospordi suurmeistri aunimetuse. Ants Kulgevee oli 1989–92 Autospordiföderatsiooni rallikomitee ja 1992–2001 Autospordiliidu juhatuse liige ning 1989–91 Vana Tooma ralli direktor. Aastaid aitas Ants erinevates ametites kaasa Eesti autorallide korraldamisele.