Burgnichit peetakse üheks Itaalia kõigi aegade paremaks kaitsemängijaks. Oma võimsa füüsilise mängustiili ja hea vastupidavuse tõttu sai ta hüüdnimeks "La Roccia" ehk "Kivi".

Ta alustas karjääri Torino Juventuses, kuid suuremat edu saavutas Milano Interis, kus tuli neljal korral Itaalia meistriks ja kahel korral Euroopa karikavõitjaks.

Itaalia rahvuskoondisega võitis Burgnichi lisaks EM-tiitlile 1970. aasta maailmameistrivõistlustel hõbemedali.

Mängijakarjääri järel töötas Burgnichi pikka aega treenerina. Viimati oli ta peatreenerina ametis hooajal 2000/01, kui juhendas Pescarat.