Press võitis 1960. aasta Rooma olümpial kuulitõukes kuldmedali ja kettaheites hõbemedali. Neli aastat hiljem Tokyos pälvis ta mõlemal alal kuldmedali.
Lisaks krooniti Press kolmekorseks Euroopa meistriks ja mitmekordseks Nõukogude Liidu meistriks nii kettaheites kui kuulitõukes. 11 korda jõudis ta nendel aladel ka maailmarekordini.
Nii Tamara kui tema õe Irina puhul kahtlustati, et nad on tegelikult mehed või hermafrodiidid. Mõlemat Venemaa kergejõustikustaari kutsuti seetõttu "Pressi vendadeks".
1966. aastal, kui tippspordis hakati esmakordselt sportlaste sugu kontrollima, lõpetasid mõlemad venelannad karjääri. Tamara oli siis alles 29- ja Irina 27-aastane.
