Eliste alustas ujumistreeninguid 1954 Tallinna Kalevis Sylvi Pressi juhendamisel. Nõukogude Liidu meistrivõistlustel saavutas ta 1961. aastal 4 x 100 m kombineeritud teateujumises hõbeda (Burevestniku koondises) ja 1960. aastal pronksi (Leningradi koondises).

Eliste tuli kolmekordseks Nõukogude Liidu üliõpilasmeistriks ja üheksakordseks Eesti meistriks. Eesti rekordeid parandas ta kümnel korral.

Pärast sportlaskarjääri tegelas ta õpetaja ja ujumistreenerina, televaatajatele sai ta tuntuks tänu hittsaatele "Reklaamiklubi". Eliste juhtis saadet 17 aastat.

Tegemist oli tol ajal Eesti Televisiooni kõige vaadatuma saatega. Rekordiks jäi hetk, mil vaatajad moodustasid 72,5 protsenti kogu Eesti elanikkonnast, kirjutas ERR-i uudisteportaal.

Lisaks tegutses Eliste trükiajakirjanduses. Ta oli Eesti spordi biograafilise leksikoni andmetel aastatel 1964–1976 ajalehe Noorte Hääl spordiosakonna juhataja, 1989–1991 Spordilehe toimetaja, 1991–1995 Eesti Ajalehtede Liidu tegevdirektor, 1995–1996 Eesti Spordifondi tegevdirektor ja 1996–1999 Spordilehe vastutav väljaandja. Ajakirjanikuna viibis Eliste 1972. aasta Sapporo ja 1976. aasta Innsbrucki taliolümpiamängudel.