Eapost sündis 9. jaanuaril 1947 Kohtla-Järvel ning alustas jalgpalli- ja jäähokitreeninguid 14-aastaselt. Tema jalgpallitreenerid olid Artur Veinberg, Elmar Saar, Uno Piir, Roman Ubakivi ja Vladimir Klotškov.

Väravavahina teenis Eapost ühe ENSV meistrivõistluste hõbeda (1988) ning viis pronksi (1966, 1968, 1970, 1975 ja 1990). Aastal 1986 tuli ta Estonia kaevanduse meeskonnas ENSV karikavõitjaks. Eapost kuulus aastatel 1983–1984 Nõukogude Liidu II liigas mänginud Tallinna KSMK meeskonda.

Ajalukku läks Eapost sellega, et mängis 56-aastaselt Narva JK Transi koosseisus Eesti kõrgliigas, mis on rekord. Ta on olnud ka Transi meeskonna väravavahtide treener.

Eesti Jalgpalli Liit avaldab kõigile Tõnu Eaposti lähedastele ja kogu jalgpalliperele sügavat kaastunnet.