Sportlaskarjääri hiilgeaegadel jõudis Parmas Suure Slämmi turniiril Pariisis üksikmängus 16 hulka, tuli paarismängus Euroopa meistriks ning tuli üliõpilaste maailmameistriks nii üksik- kui segapaarismängus.

NSV Liidu meistrivõistlustel võitis ta kokku 10 medalit, tulles 1968. aastal üksikmängus kullale. Eesti meistrivõistlustelt teenis 41 medalit, neist 19 kuldset.

Tenniseliidu auliige Tiiu Parmas suri 67-aasta vanusena.